Как умножить четырехзначное число на двузначное. III этап. Умножение на двузначное и трехзначное число

Вопрос 11. Умножение многозначных чисел. Теоретический материал, рассматриваемый в данной теме.

В этой теме с помощью алгоритмов вводятся следующие вычислительные приемы:

Умножение на однозначное число.

Умножение на разрядные числа.

Умножение на двузначные и трехзначные числа.

На каждом из этих этапов изучаются сначала приемы умножения, затем деления. Возможны другие подходы в изучении данной темы.

На подготовительном этапе ведется повторение, обобщение и систематизация изученного материала. На этапе ознакомления сначала рассматриваются устные вычислительные приемы умножения разрядного числа на однозначное вида: 60003; 4002; 4сот. 2= 8 сот.=800

Теоретическая основа - конкретный смысл умножения.

Затем учащиеся подводятся к необходимости введения письменного приема умножения. С этой целью вводится прием умножения на однозначное число с переходом через десяток или сотню.

На основе алгоритма умножения из курса математики составляется и вводится алгоритм умножения в начальной школе. Однако письменное умножение начинаем с единиц низшего разряда, устное с единиц высшего разряда.

Рассуждения учащихся могут быть следующими: «записываю множители в столбик, один под другим. Проведем черту, слева ставим знак умножения. Второй множитель пишу под единицами.

Начинаю умножение с единиц низшего разряда 7 единиц умножаю на 2 = 14 единиц, это 1 десяток 4 единицы, записываю 4 единицы под единицами, а 1 десяток запоминаю, чтобы потом прибавить к десяткам”.

Алгоритм объяснения можно записать в следующей последовательности:

Умножаю единицы:

Умножаю десятки:

Умножаю сотни:

Читаю ответ:

Сначала дается подробное объяснение, затем краткое. Когда алгоритм усвоен, название единиц каждого разряда можно опустить.

Необходимо научить детей:

правильно записывать множители;

познакомить со знаком умножения;

при умножении называть каждый разряд;

проговаривать промежуточные результаты

Усложнение приемов проходит в следующем порядке:

увеличивается число разрядов первого множителя;

3253; 62855 и т.д.;

Первый множитель содержит нули в середине или на конце, необходимо знание разрядного состава числа;

7056; 60078; 7060005 ….;

Различные сочетания этих случаев.

Например:72500

Объяснение: подписываем второй множитель под первой цифрой первого множителя, отличной от нуля. 725 сот.  8=4350 сот. Или 435000.

Выполняют умножение, не обращая внимания на нули, записанные в конце 1 множителя и к полученному произведению приписывают столько нулей, сколько их в конце первого множителя. От подробного объяснения решения переходят к краткому, когда опускается название разрядных единиц и выполняемых преобразований.

Затем вводятся приемы умножения однозначного числа на многозначные:

86734 – теоретическая основа – переместительное свойство умножения.

Умножение на разрядные числа.

На подготовительном этапе рассматривается следующий теоретический материал:

умножение на однозначное число;

таблицы умножения и сложения;

умножение на 10, 100, 1000.

замена разрядных чисел произведением однозначного числа и 10, 100, 1000 (600=6100)

5. свойство умножения числа на произведение (сочетательный закон умножения):

8 (42)=88=64

8 (42)=(84) 2=64

Сочетательный закон умножения читается так: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего числа. Формулировка закона может быть другая: два или несколько множителей в произведении можно заменить их произведением, от этого значение арифметического выражения не изменится.

(ab) c = a (bc)

Свойство является теоретической основой для введения приемов.

На этапе ознакомления первыми вводится устные случаи вида:

1630=16 (310)=(163) 10=480

70060=700 (610)=(7006) 10=42000

Рассуждения учащихся: чтобы 7 сотен умножить на 60, надо 7 сотен умножить на 6, а затем полученное число умножить на 10, будет 42 сотни или 42000 единицы.

Теоретическая основа – сочетательный закон умножения или умножение числа на произведение.

Затем вводятся письменные приемы.

Например:

Второй множитель записываем так, чтобы нули были справа от единиц первого множителя. Число 375 умножаем на 4 и полученный результат умножаем на 10. В произведении записываем столько нулей, сколько их было во втором множителе.

Следующими рассматривается случай умножения, когда оба множителя оканчиваются нулями.

Объяснение: 72 сотни умножаем на 6, получаем 432 сотни или 43200 и доумножаем на 10.

Вопросы вида:

Сколько нулей в 1 множителе?

Сколько нулей во 2 множителе?

Сколько нулей в произведении?

Вывод: чтобы умножить 2 числа с нулями на конце, надо перемножить их, не обращая внимания на нули, а затем к полученному произведению приписать столько нулей, сколько их записано в конце обоих множителей вместе.

Теоретическая основа – свойство умножения числа на произведение.

Умножение на двузначное и трехзначное число.

Сначала на этой основе вводится случай вида:

3013=30 (10+3)=300+90=390

Письменные приемы умножения на двузначные числа вводится на примере вида: 7836

Показывается запись в строчку:

7836=78 (30+6)=7830+786=2808

Делается вывод, чтобы устно вычислить результат сложно. Произведения 7830 и 786 записываются в столбики, результаты вычисления называют неполными произведениями; сложив их, получаем произведение чисел 78 и 36.

Затем два столбика объединяются в один. Возможен и другой вариант введения умножения в столбик.

Сравните 2 примера.

Как продолжить умножение во втором примере?

Вводится алгоритм умножения.

1. Умножаю на единицы (78 умножаем на 6), получим 1 неполное произведение.

2.Умножаю на десятки (78 умножаем на 30), получим 2 неполное произведение.

3.Читаю ответ. Сложив неполные произведения, получаем ответ.

Нуль в конце второго неполного произведения можно не писать, так как сложив число единиц первого неполного произведения с нулем получим число единиц первого неполного произведения. При умножении на число десятков второе неполное произведение начнем подписывать под десятками первого неполного произведения.

Теоретическая основа – свойства умножения числа на сумму.

Умножение на трёхзначное число вводится на основе умножения на двузначное. Можно использовать такой прием: к числам 78 и 36 добавим цифру, обозначающую число сотен, например 4 и 5, получим пример 478536.

Как получить третье неполное произведение?

483 умножаем на 3, на число сотен и результат умножением на 100, 3-е неполное произведение подписываем под сотнями.

Затем включаются частные случаи умножения: умножение чисел, в записи которых на конце или в середине есть нули. Алгоритм умножения остается тот же, хотя имеются некоторые особенности.

Например:

Чтобы умножить 560 на 74, надо 56 дес. умножить на 74, получим десятки, их заменим единицами, приписав справа нуль.

В этом случае от умножения на единицы сразу переходим к умножению на сотни. Умножаем 748 на 300, получаем 2244 сотни или 224400.

В сумме будут отсутствовать единицы какого-либо разряда, в данном примере отсутствуют десятки и от умножения на единицы переходим к умножению на сотни; второе неполное произведение подписываем под сотнями.

Т.о. последовательно, по степени сложности рассматриваются все случаи письменного умножения.

Умножение на двузначное и трехзначное числа.

Изучение действий разделено на два этапа:

умножение и деление на двузначное число (осваивается алгоритм, формируются все понятия);

умножение и деление на трехзначное число (перенос полученных понятий и умений на более сложный материал).

Анализ выполнения умножения показывает, что основные положения те же, что и при умножении на однозначное число: поразрядность выполнения умножения и использование в каждом разряде таблицы умножения.

Вместе с тем существуют особенности.

Например: 70  4=280 700  4=2800

Находят результат известными способами. Определяют сходство и различие этих равенств и разницу в разрядных единицах. Затем исследуют источник подмеченной закономерности, осознают основной путь выполнения действия - представление множителя не произведением любых чисел, а произведением однозначного числа на единицу с нулями. Отсюда вытекает необходимость знания о закономерности, связанной с умножением любого числа на разрядную единицу.

Выделим основные этапы в изучении умножения на двухзначное число: сочетательный закон умножения; умножение на единицу с нулями на основе использования сочетательного закона умножения; умножение на круглые десятки на основе использования того же закона, распределительный закон умножения относительно сложения; умножение на двузначное число со всеми значащими цифрами. Необходимо установление логических связей между отдельными этапами и между новым материалом и изученным.

Алгоритм умножения на однозначное число - основа овладения алгоритмом умножения на двузначное и трехзначное числа.

Умножение на двузначное и трехзначное число рассматривается на основе свойства умножения числа на сумму .

Полезно начать работу с устного умножения двузначного числа на двузначное. Для ознакомления с приемом подбираются более легкие случаи, например:

16 12 = 16 (10 + 2) = 16 10 + 16 2 = 160 + 32 = 192

Затем надо предложить более трудный случай, например:

87 64 = 87 (60 + 4) = 87 60 + 87 4

Дети убеждаются, что устно решить такой пример трудно. Учитель предлагает выполнить вычисления письменно:

Чтобы умножить 87 на 64, надо сначала умножить 87 на 4, затем умножить 87 на 60 и полученные числа сложить.

Умножаем 87 на 4: четырежды семь - 28; 8 запишем, 2 запоминаем;

четырежды восемь - 32, да 2, получим 34, записываем 34.

Получили 348.

Теперь умножаем 87 на 60.

Для этого надо 87 умножить на 6 и полученное число умножить на 10, т.е. приписать к нему справа нуль, пишем нуль на месте единиц.

7 умножить на 6 - 42, 2 пишем на месте десятков, 4 запоминаем.

8 умножить на 6 - 48, да 4 - 52, пишем 52.

Получим 5220.

Сложим числа 348 и 5220.

Произведение 5568.

Здесь 87 и 64 - множители ,

348 - первое неполное произведение ,

5220 - второе неполное произведение ,

5568 - окончательный результат или произведение чисел 87 и 64.

Полезно, чтобы при объяснении вычислительного приема учащиеся сначала указывали все основные операции в определенной последовательности. Это способствует пониманию места и значения каждой операции. Подробное объяснение дается только тем операциям, которые являются новыми для учащихся, знакомые же операции выполняются самостоятельно, приэтом даются краткие пояснения.

После решения нескольких примеров (134 46, 268 37, 451 32) учитель обращает внимание учащихся на особенность второго неполного произведения: оно всегда оканчивается нулем, следовательно, при сложении неполных произведений единиц всегда будет столько, сколько их в первом неполном произведении, значит, нуль можно не писать, а второе неполное произведение начинать записывать под десятками.

Так же ведется объяснение умножения на трехзначное число.

На первых порах изучения умножения на двузначное и особенно на трехзначное число наряду с решением примеров полезно включать упражнения на составление плана решения, который записывают в виде выражения, но самого действия не выполняют, например:

286 374 = 286 4 + 286 70 +286 300

Целесообразно предлагать и обратные упражнения, когда по плану решения (84 6 + 84 30) надо составить пример (84 36), а в целом можно записать следующее равенство: 84 6 + 84 30 = 84 36.

Подобные упражнения фиксируют внимание учащихся на вычислительном приеме и том свойстве, которое лежит в его основе.

Следует обратить внимание еще на одну группу упражнений, цель которых состоит в том, чтобы предупредить смешение сходных вычислительных приемов при умножении на двузначные числа. Укажем некоторые из них.

1) Учащимся предлагается рассказать способ решения пары примеров, составленных с таким расчетом, чтобы на фоне сходного ярче выступало различие приемов. Как умножить письменно 138 на 14? (Надо 138 умножить на 4, 138 умножить на 10, полученные результаты сложить: 138 14 = 138 4+ 138 10.)

Как умножить 138 на 40? (Надо 138 умножить на 4 и полученный результат умножить на 10; 138 40 = 138 4 10.)

Упражнение, обратное первому. Если 376 умножили на 4, 376 умножили на 10 и полученные числа сложили, то на какое число умножили 376? (376 14) И вопрос, и ответ можно записать так: 376-4+376-10=376-14. Если 376 умножим на 4 и полученный результат умножим на 10, то на какое число умножили 376? (376 40.) Запись: 376 4 10 = 376 40.

Устное и письменное решение пар примеров в одно действие: 25 12 и 25 20; 194 16 и 194 60, а также письменное решение пар примеров в несколько действий и сравнение их. Что больше и на сколько: произведение 346 7 10 или сумма произведений 346 7 + 346 10?

Решение примеров разными способами, например:

25 16 = 25 (4 4)=25 4 4

25 16 = 25 (2 8) =25 2 8

25 16 = 25 (10 + 6)

25 16 = 16 25=16 (5 5) = 16 5 5 и др.

5) Решение примеров наиболее удобным способом:

32 2 50 = 32 100 73 6 3 + 73 2 = 73 20

54 80 + 54 20 = 54 100 83 16 + 17 16 = 100 16

Учитель записывает на доске только левую часть приведенных равенств, а правую часть записывают учащиеся.

После того как общие случаи умножения на двузначное и трехзначное число рассмотрены, включаются частные случаи умножения: умножение чисел, в записи которых на конце или в середине множителей есть нули. При изучении этих случаев умножения учащиеся имеют дело с уже знакомыми им приемами, только в новых условиях, поэтому им надо предоставлять как можно больше самостоятельности.

После умножения на двузначное и трехзначное число нату­ральных чисел вводится умножение величин, выраженных в единицах двух наименований. При этом используется один спо­соб: величину, выраженную в единицах двух наименований, вы­ражают в единицах одного наименования, умножают эту вели­чину на число и результат выражают в единицах двух наиме­нований.

При изучении всех случаев умножения прежде всего необ­ходимо добиться понимания вычислительного приема, после че­го вести работу по формированию вычислительных навыков. Для выработки навыков большое значение имеет, во-первых, своевременное сокращение объяснений решения примеров и соответст­вующих записей, во-вторых, тщательно продуманная система тренировочных упражнений.

Для предупреждения ошибок надо приучить детей выполнять проверку решения. Письменное умножение проверяют способом прикидки результата. С этой целью находят произведение чи­сел высшего разряда множителей и сравнивают его с получен­ным результатом. Так, проверяя решение первого из приведен­ных примеров, найдем произведение 100-200 = 20 000, в резуль­тате же получили только 3288, значит, пример решен непра­вильно. Можно также проверять решение примеров на умно­жение делением.

В связи с изучением умножения многозначных чисел необ­ходимо повторять правила порядка выполнения действий; это­му способствуют упражнения: «Запишите выражения и найди­те их значения -к числу 803 прибавьте произведение чисел 254 и 30; произведение чисел 425 и 168 увеличьте на их разность и т. п.».

Методика изучения письменного алгоритма деления (1 этап).

Как уже отмечалось, деление многозначных чисел "целесообразно изучать параллельно с ум­ножением, выделяя при- этом следующие этапы: после умноже­ния на однозначное число вводится деление на однозначное, чис­ло, вслед за умножением на разрядные числа дается деление на разрядные числа, сразу же после изучения умножения на двузначное и трехзначное число изучается деление на двузнач­ное и трехзначное число.

Рассмотрим каждый из названных этапов в отдельности.

• закрепление умения умножать на двузначное и трёхзначное число, продолжение работы по отработке вычислительных навыков, решение задач на движение, выражений на порядок действий;
• закрепление умения вычислять площадь и периметр квадрата.
• развитие внимания, памяти, логического мышления, математической речи учащихся.
• привитие интереса к предмету, воспитание аккуратности, коммуникабельности, взаимопомощи.

Оборудование: учебник "Математика 4 класс", мультимедийный проектор, ПК, экран, сигнальные карточки, карточки для индивидуальной работы, тесты.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Очень строгая наука,
Очень точная наука,
Интересная наука -
Это::::::.

Математика любит внимательных, организованных людей. Сейчас проверим, кто уже настроился на хорошую работу.

2. Актуализация знаний.

У вас на партах лежат таблицы Пифагора. Я буду называть табличные случаи умножения, а вы будете закрашивать квадрат с правильным ответом.

7х4, 6х6, 5х8, 5х4, 7х8, 6х5, 5х5, 6х7,6х8, 7х7, 6х4.

Проверка: Кто правильно выделил все ответы, у вас должна появится на таблице "пятёрка" за выполнение этого задания. Покажите с помощью сигнальных карточек результат вашей работы. Слайд 1

Знание таблицы умножения пригодится нам сегодня на уроке.

Сядьте правильно, проверьте, правильно ли у вас лежит тетрадь. Запишите число, классная работа.

Минутка чистописания.

Урок продолжу я с загадки.
Вы послушайте, ребятки.
Загадала я число -
Многозначное оно.
В нём десятков ровно столько,
Сколько девочек у нас
Каждый день приходит в класс.
Единиц же столько, дети,
Сколько материков на свете.
Ну а сотен в том числе столько,
Сколько лучей в угле.
Что же это за число?
Назовите вы его! Слайд 2

Это число - 256

Что можете сказать об этом числе?

(трёхзначное, чётное, число 1 класса. В нём содержится 6 единиц первого разряда, 5 единиц второго разряда, 2 единицы третьего разряда, в этом числе 25 десятков, "соседи" числа 255 и 257. Его можно заменить суммой разрядных слагаемых).

Пропишите это число всю строку. (Следить за правильной посадкой)

Решение геометрической задачи. Слайд 3

Составьте задачу по рисунку.

Периметр квадрата равен 256 см. Найдите его площадь.

Можем сразу ответить на вопрос задачи? Почему?

Зная периметр квадрата, что мы можем узнать?

(1 ученик решает за доской . Проверка с подробным объяснением)

Ребята, поднимите руки, у кого на парте лежат карточки для индивидуальной работы? Вы тоже будете решать геометрическую задачу, но она повышенной сложности.

256:4= 64 (см) - сторона квадрата

64х64= 4096 (см кв.) - площадь квадрата (умножение столбиком)

Проверка: с помощью сигнальных карточек.

3. Работа по теме урока.

При нахождении площади квадрата мы умножали на двузначное число.

Сегодня на уроке мы закрепляем умение умножать многозначные числа на двузначное и трехзначное число.

Давайте вспомним алгоритм умножения на двузначное число. Слайд 4

1 ученик решает у доски с подробным объяснением, дети записывают в тетрадь.

А теперь давайте повторим алгоритм умножения на трёхзначное число

Слайд 5

986х134 (1 ученик решает у доски с подробным объяснением).

Часто ученики допускают ошибки при умножении, когда в множителях есть 0. Найдите, где допущена ошибка? Слайд 6

Работаем по учебнику: Стр. 44 № 14 (2-й столбик)

2 примера решить у доски с подробным объяснением.

4. Самостоятельная работа учащихся.

Сейчас вы будете работать самостоятельно. В ходе самостоятельной работы вы продемонстрируете свои навыки умножения на двузначное и трёхзначное число, сложение и вычитание многозначных чисел, порядок выполнения арифметических действий.

Перед вами математические выражения

Давайте вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без скобок.

Решение выражений на порядок действий.

25х (364+242)= 15150 Слайд 7

702х69+702х18= 71074

(78213-75209)х207-5х308= 620288

Выберите то выражение, которое вам по силам .

Проверка: Поднимите руки, кто выбрал первое выражение. Проверьте правильно ли вы решили своё выражение. Поднимите руки, кто выбрал для решения второе выражение. Проверяем.

Проверка третьего выражения. (Показать с помощью сигнальных карточек)

5. Физминутка (танец с музыкальным сопровождением).

6. Решение задачи на движение.

Стр. 45 № 22. Прочитайте самостоятельно задачу.

Это какой вид задачи? (Движение в противоположных направлениях).

Какие величины известны в задаче?

Что необходимо найти?

Что нужно знать, чтобы найти скорость?

Как найти неизвестное время, по заданной скорости и расстоянию?

Как найти неизвестное расстояние, зная время и скорость?

Выберите чертёж, который подходит к задаче. Слайд 8

Решение задачи у доски с подробным объяснением.

Уч-ся используют во время проверки сигнальные карточки.

- Кто решил задачу другим способом?

Запись решения задачи на доске. Ребята, вы согласны с таким решением задачи?

Какой способ решения более рациональный? Почему?

Воспитательный момент урока - соблюдение правил дорожного движения при езде на велосипеде. (Каждое десятое ДТП в стране происходит с участием детей. Каждый год в авариях Россия теряет по 1,5 тысяч молодых граждан. Таких случаев можно избежать, если вы будете знать и соблюдать правила безопасной езды на велосипеде).

7. Физминутка для глаз.

Глазки наши отдохните,
Под ресничками вздремните.
А теперь взгляните вдаль,
А потом на парту.
Посмотрите влево, вправо,
Вверх и вниз.
Теперь вперёд.
Продолжаем наш урок.

8. Тест по изученной теме.

Мы продолжаем с вами готовиться к итоговому мониторингу.

У вас на парте лежат тесты. Подпишите их. Сосредоточьтесь. Начинайте выполнять задания теста.

1. Чему равно число, содержащее 149 единиц I класса и 37 единиц II класса?

4. Не выполняя вычислений, определи, какое произведение больше и на сколько:

• 45х1254 или 45х1253.
• 45х1254 больше на 45
• 45х1254 больше на 44
• 45х1254 больше на 1254

5. С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы проехать за 7 часов 560 км?

1) 60 км/ч	3) 80 км/ч
2) 90 км/ч	4) 80 км

Взаимопроверка (поменяйтесь тестами)

КЛЮЧ. Слайд 9

Взаимопроверка. Покажите результат с помощью сигнальных карточек.

9. Домашнее задание: стр.45 №21 (по желанию составить обратную задачу)

Стр. 44 №14 (3-й столбик) Слайд 10

10. Обобщение.

Вот и кончился урок.
Подведём теперь итог.

• Чем сегодня занимались? (ответы детей)
• В чём немножко затруднялись? (ответы детей)

Вам понравился урок?
Пусть урок пойдёт вам впрок!

Спасибо за работу на уроке.